【題目】如圖，四邊形為菱形，且，，，點在面上的投影恰在上，點為中點.

（1）求證：為線段的中點；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）過作于，連接，證明點為中點.又利用面，證得，結合條件，即可證明面，從而得到，證明是中位線，即可證明為線段的中點；

（2）建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，分別求出平面的一個法向量以及平面的一個法向量，再求出兩個法向量的夾角的余弦，通過觀察得二面角與兩法向量夾角相等，則可得結論..

（1）證明：過作于，連接，

由菱形，，及，

可知，為中點，

面，，

又，面，

面，，

又，，

由為中點，可知，為線段的中點；

（2）以所在直線為軸，以所在直線為軸，

過平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，

設面的一個法向量，

，，

，取

設面的一個法向量，

，，

，取，

∴，

二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】已知極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合，曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

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【題目】國家正積極推行垃圾分類工作，教育部辦公廳等六部門也發(fā)布了《關于在學校推進生活垃圾分類管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各學校生活垃圾分類知識普及率要達到100%某市教育主管部門據此做了“哪些活動最能促進學生進行垃圾分類”的問卷調查（每個受訪者只能在問卷的4個活動中選擇一個）如圖是調查結果的統(tǒng)計圖，以下結論正確的是（ 　�。�

A.回答該問卷的受訪者中，選擇的（2）和（3）人數(shù)總和比選擇（4）的人數(shù)多

B.回該問卷的受訪者中，選擇“校園外宣傳”的人數(shù)不是最少的

C.回答該問卷的受訪者中，選擇（4）的人數(shù)比選擇（2）的人數(shù)可能多30人

D.回答該問卷的總人數(shù)不可能是1000人

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（1）求證：；

（2）當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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【題目】某校準備采用導師制成立培養(yǎng)各學科全優(yōu)尖子生培優(yōu)小組，設想培優(yōu)小組中，每1名學生需要配備2名理科教師和2名文科教師做導師；設想培優(yōu)小組中，每1名學生需要配備3名理科教師和1名文科教師做導師．若學校現(xiàn)有14名理科教師和9名文科教師積極支持，則兩培優(yōu)小組能夠成立的學生人數(shù)和最多是_________．

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【題目】寫算，是一種格子乘法，也是筆算乘法的一種，用以區(qū)別籌算與珠算，它由明代數(shù)學家吳敬在其撰寫的《九章算法比類大全》一書中提出，是從天元式的乘法演變而來．例如計算，將被乘數(shù)89計入上行，乘數(shù)65計入右行．然后以乘數(shù)65的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每位數(shù)字，將結果計入相應的格子中，最后從右下方開始按斜行加起來，滿十向上斜行進一，如圖，即得5785．類比此法畫出的表格，若從表內（表周邊數(shù)據不算在內）任取一數(shù)，則恰取到奇數(shù)的概率是（ ）

A.B.C.D.

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（Ⅱ）估計在高一、高二學生中各隨機抽取1人，恰有一人的鍛煉時間大于20分鐘的概率；

（Ⅲ）由頻率分布直方圖可以認為，高二學生鍛煉時間服從正態(tài)分布．其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，且每名學生鍛煉時間相互獨立，設表示從高二學生中隨機抽取10人，其鍛煉時間位于的人數(shù)，求的數(shù)學期望．

注：①同一組數(shù)據用該區(qū)間的中點值作代表,計算得

②若，則，

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