Question

16．已知夾角為$\frac{π}{2}$的兩個(gè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=2$，向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）=0，則|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍為（　�。�

• A． [1，$\sqrt{2}$]
• B． [0，2$\sqrt{2}$]
• C． [1，$\sqrt{3}$]
• D． [0，2]

Answer 1

分析 由向量垂直的條件可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，運(yùn)用向量的平方即為模的平方，可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2$\sqrt{2}$，再化簡(jiǎn)運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=2$\sqrt{2}$，
（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{c}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）
=|$\overrightarrow{c}$|²-|$\overrightarrow{c}$|•|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞=0，
即為|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞，
當(dāng)cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞=1即$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$同向時(shí)，
|$\overrightarrow{c}$|的最大值是2$\sqrt{2}$．
則|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍為[0，2$\sqrt{2}$]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的模的范圍的求法，注意運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查余弦函數(shù)的值域的運(yùn)用，屬于中檔題．