Question

9．橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的長軸長等于圓C₂：x²+y²=4的直徑，且C₁的離心率等于$\frac{1}{2}$．直線l₁和l₂是過點M（1，0）互相垂直的兩條直線，l₁交C₁于A，B兩點，l₂交C₂于C，D兩點．
（I）求C₁的標準方程；
（Ⅱ）當四邊形ABCD的面積為$\frac{12}{7}\sqrt{14}$時，求直線l₁的斜率k（k＞0）．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的長軸長等于圓C₂：x²+y²=4的直徑，離心率等于$\frac{1}{2}$，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）設AB：y=k（x-1），則$CD：y=-\frac{1}{k}（x-1）$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，得（3+4k²）x-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式，結合已知能求出直線l₁的斜率k．

解答 解：（1）∵橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的長軸長等于圓C₂：x²+y²=4的直徑，
∴由題意2a=4，∴a=2，（1分）
∵橢圓C₁的離心率等于$\frac{1}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=1，（2分）
∴$b=\sqrt{3}$，（3分）
∴橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．（4分）
（2）設AB：y=k（x-1），則$CD：y=-\frac{1}{k}（x-1）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$，得（3+4k²）x-8k²x+4k²-12=0，（5分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}\end{array}\right.$，（6分）
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{12（{k^2}+1）}}{{3+4{k^2}}}$，（7分）
設圓心（0，0）到直線CD：x+ky-1=0的距離$d=\frac{1}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴$\frac{{{{|{CD}|}^2}}}{4}+{d^2}=4$，得$|{CD}|=2\sqrt{\frac{{4{k^2}+3}}{{{k^2}+1}}}$，（8分）
∵AB⊥CD，∴${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|{AB}|•|{CD}|=\frac{{12\sqrt{{k^2}+1}}}{{\sqrt{4{k^2}+3}}}$，（10分）
$\frac{{12\sqrt{{k^2}+1}}}{{\sqrt{4{k^2}+3}}}=\frac{{12\sqrt{14}}}{7}$，
解得k=1或k=-1，（11分）
由k＞0，得k=1．（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式的合理運用．