Question

5．已知復數z₀滿足|2z₀+15|=$\sqrt{3}$|$\overline{{z}_{0}}$+10|，
（1）求證：|z₀|為定值；
（2）設x=$\frac{1+i}{2}$，z_n=z₀xⁿ，若a_n=|z_n-z_n-1|，n∈N^*，求$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）．

Answer 1

分析 （1）設z₀=x+yi（x，y∈R），利用|2z₀+15|=$\sqrt{3}$|$\overline{{z}_{0}}$+10|，可得x²+y²=75，即可證明：|z₀|為定值；
（2）a_n=|z_n-z_n-1|=$5\sqrt{3}•（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$，再求極限．

解答 （1）證明：設z₀=x+yi（x，y∈R），則
∵|2z₀+15|=$\sqrt{3}$|$\overline{{z}_{0}}$+10|，
∴|2x+15+2yi|=$\sqrt{3}$|x+10-yi|，
∴（2x+15）²+（2y）²=3（x+10）²+3y²，
∴x²+y²=75，
∴|z₀|=5$\sqrt{3}$；
（2）解：∵x=$\frac{1+i}{2}$，z_n=z₀xⁿ，
∴a_n=|z_n-z_n-1|=$5\sqrt{3}•（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=5$\sqrt{3}$•$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=5$\sqrt{3}+5\sqrt{6}$．

點評 本題考查復數模的計算，考查極限的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．