Question

5．已知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，且△PF₁F₂的面積為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{b^2}$，則cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由已知條件利用橢圓定義和余弦定理列出方程組，再由三角形面積利用正弦定理求出1-cosθ=$\sqrt{2}sinθ$，由此利用sin²θ+cos²θ=1，能求出cosθ．

解答 解：∵F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個(gè)焦點(diǎn)，
P在橢圓上，且△PF₁F₂的面積為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{b^2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}+2|P{F}_{1}|•{|PF}_{2}|=4{a}^{2}}\\{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|cos{∠F}_{1}P{F}_{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，
整理，得|PF₁|•|PF₂|=$\frac{2^{2}}{1-cos∠{F}_{1}P{F}_{2}}$，
∵△PF₁F₂的面積為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}{b^2}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{2^{2}}{1-cos∠{F}_{1}P{F}_{2}}$×sin∠F₁PF₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}^{2}$，
∴1-cos∠F₁PF₂=$\sqrt{2}$sin∠F₁PF₂，
∵sin²∠F₁PF₂+cos²∠F₁PF₂=1，∴cos∠F₁PF₂=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、余弦定理的合理運(yùn)用．