Question

20．如圖，已知多面體ABCDFEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，若四邊形ADEF為矩形，AB∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，BC⊥BD，M為EC中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面BDE；
（2）求證：BM∥平面ADEF．

Answer 1

分析 （1）只要證明DE⊥平面ABCD即可；
（2）取DE中點(diǎn)N，連接AN，MN，只要證明BM∥AN，利用線面平行的判定定理可得．

解答 證明：（1）因?yàn)樗倪呅蜛DEF為矩形，所以DE⊥AD，…（1分）
又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以DE⊥平面ABCD，…（3分）
又因?yàn)锽C?平面ABCD，
所以DE⊥BC，…（5分）
又因?yàn)锽C⊥BD，DE∩BD=D，所以BC⊥平面BDE； …（7分）
（2）取DE中點(diǎn)N，連接AN，MN，因?yàn)镸，N分別為EC，DE中點(diǎn)，
所以MN∥CD，$MN=\frac{1}{2}CD$，…（9分）
又因?yàn)锳B∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，所以MN∥AB，MN=AB，
所以四邊形ABMN為平行四邊形，…（11分）
所以BM∥AN，又AN?平面ADEF，BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直、線面平行的判定定理和判定定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是熟練掌握定理性質(zhì)．