Question

14．設(shè)有下面四個(gè)命題
p₁：若復(fù)數(shù)z滿足$\frac{1}{z}$∈R，則z∈R；
p₂：關(guān)于x的不等式x²-ax+a＞0（a∈R）在R上恒成立的充分不必要條件是a＜0或a＞4；
p₃：（$\frac{16}{81}$）${\;}^{\frac{1}{4}}$+2lg4+lg$\frac{5}{8}$=$\frac{5}{3}$；
p₄：已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在同一周期內(nèi)，當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)有最大值2，當(dāng)x=0時(shí)有最小值-2，那么函數(shù)的解析式為y=2sin（3x+$\frac{π}{2}$）．
其中的真命題為（　　）

• A． p₁，p₃
• B． p₁，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₂，p₄

Answer 1

分析 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的概念判斷p₁的正誤；充要條件判斷p₂的正誤；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則判斷p₃的正誤；三角函數(shù)的周期與最值判斷p₄的正誤；

解答 解：p₁：若復(fù)數(shù)z滿足$\frac{1}{z}$∈R，則z∈R；設(shè)z=a+bi，則$\frac{1}{a+bi}$=$\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}$-$\frac{{a}^{2}+^{2}}i$∈R，可得b=0，所以命題正確；
p₂：關(guān)于x的不等式x²-ax+a＞0（a∈R）在R上恒成立的充要條件是：a²-4a＜0，即0＜a＜4，原命題說(shuō)充分不必要條件是a＜0或a＞4；不正確；
p₃：（$\frac{16}{81}$）${\;}^{\frac{1}{4}}$+2lg4+lg$\frac{5}{8}$=$\frac{2}{3}$+4lg2+lg5-3lg2=$\frac{2}{3}$+1=$\frac{5}{3}$；正確；
p₄：已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在同一周期內(nèi)，當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)有最大值2，當(dāng)x=0時(shí)有最小值-2，那么函數(shù)的解析式為y=2sin（3x+$\frac{π}{2}$）．顯然不滿足題意，所以原命題不正確；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假的判斷，復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，充要條件以及三角函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．