Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+a
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為直線1，求直線1的方程；
（2）若函數(shù)f（x）有一個(gè)大于1的零點(diǎn)，則a的取值范圍；
（3）若f（x₀）=0，且x₀＞1，求證：x₀＞$\frac{2}{a}$-1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，分當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a≥1時(shí)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，討論函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，以及零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，即可得到所求a的范圍；
（3）由題意求得a，欲證x₀$＞\frac{2}{a}-1$，只需證x₀＞$\frac{2（{x}_{0}-1）}{ln{x}_{0}}-1$，x₀＞1，即證lnx-2+$\frac{4}{x+1}$＞0，x＞1，于是令h（x）=lnx-2+$\frac{4}{x+1}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，
可得f′（1）=2，
則f（x）在（0，1）處的切線斜率為2，且經(jīng)過(guò)（1，0）點(diǎn)，
則直線l為y=2x-2；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＞0，f（x）單調(diào)增，
又f（1）=0，則f（x）在（1，+∞）上不存在第二個(gè)零點(diǎn)，故不成立；
當(dāng)a≥1時(shí)，若x＞1，則f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＜0，f（x）單調(diào)減，不成立；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1+a，
令t（a）=-lna-1+a，t′（a）=-$\frac{1}{a}$+1＜0，t（a）單調(diào)減，又t（1）=0，
則t（a）＞0，f（$\frac{1}{a}$）=-lna-1+a＞0，
f（e^-a）=-ae^-a＜0，故在（e^-a，$\frac{1}{a}$）上必有一零點(diǎn)．
綜上，a的取值范圍（0，1）；
（3）證明：f（x₀）=0，得到a=$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
欲證x₀$＞\frac{2}{a}-1$，只需證x₀＞$\frac{2（{x}_{0}-1）}{ln{x}_{0}}-1$，x₀＞1，
即證lnx-2+$\frac{4}{x+1}$＞0，x＞1，
于是令h（x）=lnx-2+$\frac{4}{x+1}$，h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{（x+1）^{2}}$，
又因?yàn)椋▁+1）²-4x=（x-1）²≥0，
故h′（x）≥0，h（x）單調(diào)增，
又因?yàn)閔（1）=0，x＞1，
故h（x）＞0，即有x₀＞$\frac{2}{a}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性，考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，考查不等式的證明，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．