Question

14．已知關(guān)于x的方程2sinx+cosx=m在[0，2π]內(nèi)有兩個不同的解α，β．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）證明：cos（α-β）=$\frac{2{m}^{2}}{5}$-1．

Answer 1

分析 （1）m=2sinx+cosx=$\sqrt{5}$sin（x+θ），$θ=arctan\frac{1}{2}$，在[0，2π]內(nèi)有兩個不同的解α，β．可得|m|＜$\sqrt{5}$，且m≠1．
（2）不妨設(shè)α＜β，則α+β=π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$，或2π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$．當α+β=π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$時，sin（α+β）=$sin（2arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}）$=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=-cos（2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$）=$-\frac{3}{5}$，由2sinα+cosα=m，2sinβx+cosβ=m，平方可得4sin²α+cos²α+4sinαcosα=m²，4sin²β+cos²β+4sinβcosβ=m²，化為2m²-5=cos（α-β）[4sin（α+β）-3cos（α+β）]，代入即可證明．

解答 （1）解：m=2sinx+cosx=$\sqrt{5}$sin（x+θ），$θ=arctan\frac{1}{2}$，在[0，2π]內(nèi)有兩個不同的解α，β．
∴|m|＜$\sqrt{5}$，且m≠1，
解得$-\sqrt{5}＜m＜\sqrt{5}$，且m≠1．
∴實數(shù)m的取值范圍是$（-\sqrt{5}，1）$∪$（1，\sqrt{5}）$．
（2）證明：不妨設(shè)α＜β，則α+β=π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$，或2π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
當α+β=π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$時，sin（α+β）=$sin（2arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}）$=$\frac{4}{5}$，cos（α+β）=-cos（2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$）=$-\frac{3}{5}$，
∵2sinα+cosα=m，2sinβx+cosβ=m，
∴4sin²α+cos²α+4sinαcosα=m²，
4sin²β+cos²β+4sinβcosβ=m²，
∴2m²-5=3sin²α+2sin2α+3sin²β+2sin2β-3
=$3×\frac{1-cos2α}{2}$+3×$\frac{1-cos2β}{2}$+2sin2α+2sin2β-3
=$-\frac{3}{2}$（cos2α+cos2β）+2（sin2α+sin2β）
=$-\frac{3}{2}×2cos（α+β）$cos（α-β）+4sin（α+β）cos（α-β）
=cos（α-β）[4sin（α+β）-3cos（α+β）]
=5cos（α-β），
∴cos（α-β）=$\frac{2{m}^{2}}{5}$-1．
當α+β=2π-2arcsin$\frac{1}{\sqrt{5}}$，同理可證明上式成立．
綜上可得：cos（α-β）=$\frac{2{m}^{2}}{5}$-1．

點評 本題考查了三角函數(shù)方程的解法、三角函數(shù)求值、倍角公式、和差化積公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．