Question

4．已知M，N，P分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱，AB，A₁D₁，BB₁上的動(dòng)點(diǎn)，試過M，N，P三點(diǎn)作正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)MP交A₁B₁的延長(zhǎng)線于E，連NE交B₁C₁于F，延長(zhǎng)FP交CB的延長(zhǎng)線于G，再延長(zhǎng)GM交AD于H．則NFPMH就是所要求作的截面．這類題目的解決，關(guān)鍵是找出截面要穿過的棱及其截點(diǎn)．

解答 解：作法：
延長(zhǎng)MP交A₁B₁的延長(zhǎng)線于E，連NE交B₁C₁于F，
延長(zhǎng)FP交CB的延長(zhǎng)線于G，再延長(zhǎng)GM交AD于H．
則NFPMH就是所要求作的截面．
證明：
∵E在MP的延長(zhǎng)線上，∴N、E、P、M共面．
∵E在A₁B₁的延長(zhǎng)線上，∴E在平面A₁B₁C₁D₁上，又N為A₁D₁的中點(diǎn)，∴NE必與B₁C₁相交．
∴點(diǎn)F為平面A₁B₁C₁D₁、平面B₁C₁CB、平面MNP的公共點(diǎn)．
∴點(diǎn)F是平面MNP在B₁C₁上的截點(diǎn)．
∵點(diǎn)F是平面MNP在B₁C₁上的截點(diǎn)，∴點(diǎn)F在平面MNP上．
而點(diǎn)G在FP的延長(zhǎng)線上，∴G在平面MNP上．
∵G在CB的延長(zhǎng)線上，∴G在平面ABCD上，又M是AB的中點(diǎn)，∴GM的延長(zhǎng)線必與AD相交．
∴點(diǎn)H為平面ABCD、平面AA₁D₁D、平面MNP的公共點(diǎn)．
∴點(diǎn)H是平面MNP在AD上的截點(diǎn)．
∴NFPMH為所要求作的截面．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的正方體的截面的作法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．