Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+1=2S_n（n∈N^*），a₁=2，則數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式a_n=${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2\\{4×{3^{n-2}}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{n=1}\\{n≥2}\end{array}$．

Answer 1

分析 當(dāng)n≥2根據(jù)題設(shè)條件可知a_n=2S_n-1，兩式相減整理得a_n+1=3a_n，判斷出此時(shí)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₂=2a₁=4，公比為3，求得n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，最后綜合可得答案．

解答 解：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1，
∴a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，
即a_n+1=3a_n，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₂=2a₁=4，公比為3，
∴a_n=4•3^n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2\\{4×{3^{n-2}}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{n=1}\\{n≥2}\end{array}$．
故答案為：${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}2\\{4×{3^{n-2}}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{n=1}\\{n≥2}\end{array}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式．解題的最后一定要驗(yàn)證a₁．屬于中檔題．