分析 (Ⅰ)運(yùn)用橢圓的離心率公式和將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解方程組得出a,b,即可得到橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)兩條直線方程分別為y=kx+2k,y=-$\frac{1}{k}$(x+2),分別與橢圓方程聯(lián)立解出M,N坐標(biāo),得出直線MN的斜率和方程,即可得出定點(diǎn)坐標(biāo).
解答 解:(Ⅰ)e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,a2-b2=c2,
點(diǎn)A(1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)在橢圓C上,可得
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1,
解方程可得a=2,b=1,c=$\sqrt{3}$,
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1;
(Ⅱ)橢圓的左頂點(diǎn)為B(-2,0),
由題意可知直線BM的斜率存在且不為0.
設(shè)直線BM的方程為y=kx+2k,
則直線BN的方程為y=-$\frac{1}{k}$(x+2),
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2k}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,
由-2xM=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$,解得xM=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$,
即有M($\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$,$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$),
同理將k換為-$\frac{1}{k}$,可得N($\frac{2{k}^{2}-8}{4+{k}^{2}}$,-$\frac{4k}{4+{k}^{2}}$).
∴直線MN的斜率kMN=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$=$\frac{5k}{4(1-{k}^{2})}$,
∴MN的直線方程為y-$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{5k}{4(1-{k}^{2})}$(x-$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$),
即y=$\frac{5k}{4(1-{k}^{2})}$x+$\frac{3k}{2(1-{k}^{2})}$,
即y=$\frac{5k}{4(1-{k}^{2})}$(x+$\frac{6}{5}$),
∴直線MN過定點(diǎn)(-$\frac{6}{5}$,0).
點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì),主要是離心率公式的運(yùn)用,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,同時考查直線恒過定點(diǎn)的求法,屬于中檔題
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A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{4}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{2}$ |
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A. | -$\frac{5}{8}$ | B. | $\frac{1}{8}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{11}{8}$ |
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A. | 2 | B. | 1 | C. | 0 | D. | -1 |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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