Question

13．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{{a_{n-1}}}}{{c{a_{n-1}}+1}}$（c為常數(shù)，n∈N*，n≥2），又a₁，a₂，a₅成公比不為l的等比數(shù)列．
（I）求證：{$\frac{1}{a_n}$}為等差數(shù)列，并求c的值；
（Ⅱ）設(shè){b_n}滿足b₁=$\frac{2}{3}$，b_n=a_n-1a_n+1（n≥2，n∈N*），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得 a_n≠0，化簡條件可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=c，可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的定義求出{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通項公式，由 a₂²=a₁a₅ 解得c的值；
（Ⅱ）先求出{b_n}的通項公式為b_n=$\frac{1}{（2n-3）（2n+1）}$（n≥2），用裂項法求出{b_n}的前n項和s_n．

解答 解：（Ⅰ）證明：由題意可得 a_n≠0．否則，若存在a_n=0（n＞1）．
由遞增式必有a_n-1=0，從而導(dǎo)致a₁=0，這與a₁=1矛盾．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=c，故{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以c為公差，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1為首項的等差數(shù)列．
故$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）c，∴a_n=$\frac{1}{1+（n-1）c}$．
從而a₂=$\frac{1}{1+c}$，a₅=$\frac{1}{1+4c}$，
由 a₂²=a₁a₅ 解得c=2或c=0．
當c=0時，a₁=a₂=a₅，舍去．故取c=2．
（Ⅱ）a_n=$\frac{1}{2n-1}$，故對{b_n}：b₁=$\frac{2}{3}$，
b_n=$\frac{1}{（2n-3）（2n+1）}$（n≥2），
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
當n≥2時，S_n=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$）
+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{11}$）+…+（$\frac{1}{2n-5}$-$\frac{1}{2n-1}$）+（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=1-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）
=1-$\frac{n}{4{n}^{2}-1}$．
當n=1時，$1-\frac{n}{{4{n^2}-1}}=\frac{2}{3}$，
所以${S_n}=1-\frac{n}{{4{n^2}-1}}（n∈{N^*}）$．

點評 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求等差數(shù)列的通項公式，用裂項法對數(shù)列進行求和，求出S_n的值，是解題的難點，屬于中檔題．