Question

3．以雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，若一條雙曲線與它的共軛雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則當(dāng)它們的實(shí)、虛軸都在變化時(shí)，e₁²+e₂²的最小值是4．

Answer 1

分析 求出e₁²+e₂²，利用基本不等式，求出e₁²+e₂²的最小值．

解答 解：∵e₁²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$，e₂²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{^{2}}$，∴e₁²+e₂²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}}{^{2}}$=2+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$≥2+2=4
（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）．
∴當(dāng)它們的實(shí)、虛軸都在變化時(shí)，e₁²+e₂²的最小值是4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題給出共軛雙曲線的概念，叫我們判斷關(guān)于共軛雙曲線的離心率的幾個(gè)式的正確性．著重考查了雙曲線的基本概念和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．