Question

15．某公司采用招考的方式引進(jìn)人才，規(guī)定考生必須在B、C、D三個(gè)測(cè)試點(diǎn)中任意選取兩個(gè)進(jìn)行測(cè)試，若在這兩個(gè)測(cè)試點(diǎn)都測(cè)試合格，則可參加面試，否則不被錄用．已知考生在每個(gè)測(cè)試點(diǎn)的測(cè)試結(jié)果只有合格與不合格兩種，且在每個(gè)測(cè)試點(diǎn)的測(cè)試結(jié)果互不影響．若考生小李和小王一起前來參加招考，小李在測(cè)試點(diǎn)B、C、D測(cè)試合格的概率分別為$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，小王在上述三個(gè)測(cè)試點(diǎn)測(cè)試合格的概率都是$\frac{2}{3}$．
（Ⅰ）問小李選擇哪兩個(gè)測(cè)試點(diǎn)測(cè)試才能使得可以參加面試的可能性最大？請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）假設(shè)小李選擇測(cè)試點(diǎn)B、C進(jìn)行測(cè)試，小王選擇測(cè)試點(diǎn)B、D進(jìn)行測(cè)試，記ξ為兩人在各測(cè)試點(diǎn)測(cè)試合格的測(cè)試點(diǎn)個(gè)數(shù)之和，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)考生小李在B，C，D各測(cè)試點(diǎn)測(cè)試合格記為事件B、C、D，且各事件相互獨(dú)立，已知$P（B）=\frac{2}{3}，P（C）=\frac{1}{3}，P（D）=\frac{1}{2}$．求出小李在（B、C），（B、D），（C、D）測(cè)試點(diǎn)測(cè)試參加面試的概率，由概率的大小得答案；
（Ⅱ）記小李在測(cè)試點(diǎn)B、C合格為事件B、C，小王在測(cè)試點(diǎn)B、D合格為事件B₁、D₁，由題意得到$P（B）=P（{B}_{1}）=P（{D}_{1}）=\frac{2}{3}，P（C）=\frac{1}{3}$，求出ξ的所有取值，然后利用相互獨(dú)立事件和定理重復(fù)試驗(yàn)求得概率，列出分布列，然后由期望公式求期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)考生小李在B，C，D各測(cè)試點(diǎn)測(cè)試合格記為事件B、C、D，且各事件相互獨(dú)立，
由題意，$P（B）=\frac{2}{3}，P（C）=\frac{1}{3}，P（D）=\frac{1}{2}$．
若選擇在B、C測(cè)試點(diǎn)測(cè)試，則參加面試的概率${P}_{1}=P（BC）=P（B）P（C）=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，
若選擇在B、D測(cè)試點(diǎn)測(cè)試，則參加面試的概率${P}_{2}=P（BD）=P（B）P（D）=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
若選擇在C、D測(cè)試點(diǎn)測(cè)試，則參加面試的概率${P}_{3}=P（CD）=P（C）P（D）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$．
∵P₂＞P₁＞P₃，∴小李在B、D測(cè)試點(diǎn)測(cè)試，參加面試的可能性大．
（Ⅱ）記小李在測(cè)試點(diǎn)B、C合格為事件B、C，小王在測(cè)試點(diǎn)B、D合格為事件B₁、D₁，
則$P（B）=P（{B}_{1}）=P（{D}_{1}）=\frac{2}{3}，P（C）=\frac{1}{3}$，且ξ的所有取值為0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=$P（\overline{B}\overline{C}\overline{{B}_{1}}\overline{{D}_{1}}）=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{2}=\frac{2}{81}$，
P（ξ=1）=$P（B\overline{C}\overline{{B}_{1}}\overline{{D}_{1}}+\overline{B}C\overline{{B}_{1}}\overline{{D}_{1}}+\overline{B}\overline{C}{B}_{1}\overline{{D}_{1}}+\overline{B}\overline{C}\overline{{B}_{1}}{D}_{1}）$
=${C}_{3}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{2}{3}+\frac{1}{3}•（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{12}{81}+\frac{1}{81}=\frac{13}{81}$，
P（ξ=2）=$P（B\overline{C}{B}_{1}\overline{{D}_{1}}+\overline{B}C{B}_{1}\overline{{D}_{1}}+B\overline{C}\overline{{B}_{1}}{D}_{1}+\overline{B}C\overline{{B}_{1}}{D}_{1}+BC\overline{{B}_{1}}\overline{{D}_{1}}+\overline{B}\overline{C}{B}_{1}{D}_{1}）$
=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}+{C}_{3}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{1}{3}=\frac{24}{81}+\frac{6}{81}=\frac{30}{81}=\frac{10}{27}$，
P（ξ=3）=$P（BC{B}_{1}\overline{{D}_{1}}+BC\overline{{B}_{1}}{D}_{1}+\overline{B}C{B}_{1}{D}_{1}+B\overline{C}{B}_{1}{D}_{1}）$
=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}•\frac{2}{3}+{C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}\frac{1}{3}•\frac{1}{3}=\frac{16}{81}+\frac{12}{81}=\frac{28}{81}$，
P（ξ=4）=$P（BC{B}_{1}{D}_{1}）=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}=\frac{8}{81}$．
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{2}{81}$	$\frac{13}{81}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{28}{81}$	$\frac{8}{81}$

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=$0×\frac{2}{81}+1×\frac{13}{81}+2×\frac{10}{27}+3×\frac{28}{81}+4×\frac{8}{81}=\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的期望表征了隨機(jī)變量取值的平均值，考查了相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是中檔題．