Question

19．如圖，過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l₁，l₂分別與x軸，y軸成30°的角，點(diǎn)P（m，n）在l₁上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q（p，q）在l₂上運(yùn)動(dòng)，且$|PQ|=2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M（m，p）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B是軌跡C上不同兩點(diǎn)，且${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{3}$，
（�。┣�$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍；
（ⅱ）判斷△OAB的面積是否為定值？若是，求出該定值，不是請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得到直線(xiàn)l₁，l₂的方程，進(jìn)一步得到P，Q的坐標(biāo)，由$|PQ|=2\sqrt{2}$列式求得動(dòng)點(diǎn)M（m，p）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）（�。┰O(shè)出A，B的坐標(biāo)，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{3}$得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)的關(guān)系求得$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤2$；
（ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)直接求△OAB的面積，斜率存在時(shí)，由三角形面積公式結(jié)合m²=1+3k²求面積．

解答 解：（Ⅰ）由題意知${l_1}：y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x，{l_2}：y=-\sqrt{3}x$，
∴${P_{\;}}（m，\frac{{\sqrt{3}}}{3}m），Q（p，-\sqrt{3}p）$，由$|PQ|=2\sqrt{2}$，得${（m-p）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}m+\sqrt{3}p）^2}=8$，整理得$\frac{m^2}{6}+\frac{{p_{\;}^2}}{2}=1$．
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程$\frac{m^2}{6}+\frac{p^2}{2}=1$；
（Ⅱ）（�。┰O(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）所在直線(xiàn)為l，
當(dāng)l斜率不存在時(shí)，則A（x₁，y₁），B（x₁，-y₁），∴${k_{OA}}=\frac{y_1}{x_1}，{k_{OB}}=-\frac{y_1}{x_1}$，
由${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{{{y_1}^2}}{{{x_1}^2}}=-\frac{1}{3}⇒{x_1}^2=3y_1^2$，
又$\frac{{{x_1}^2}}{6}+\frac{{{y_1}^2}}{2}=1$，∴${y_1}^2=1$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=2y_1^2=2$；
當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l方程y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+3{y^2}=6\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0
∴△=36k²m²-12（3k²+1）（m²-2）=12（6k²-m²+2）＞0…①
且${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{3{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-6}}{{3{k^2}+1}}$．
由${k}_{OA}•{k}_{OB}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{3}$，得x₁x₂=-3y₁y₂=-3（kx₁+m）（kx₂+m），
得：$（1+3{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+3km（{x}_{1}+{x}_{2}）+3{m}^{2}=0$．
整理得m²=1+3k²…②
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{2}{3}{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{{1+3{k^2}}}=\frac{{2{m^2}-4}}{m^2}=2-\frac{4}{m^2}$，
由①，②得m²=1+3k²≥1，
∴$0＜\frac{4}{m^2}≤4$，則$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＜2$．
∵${k_{OA}}•{k_{OB}}=-\frac{1}{3}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≠0$．
綜上：$-2≤\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤2$且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≠0$．
（ⅱ）由（�。┲�，l斜率不存在時(shí)，${S_{△OAB}}=|{x_1}{y_1}|=\sqrt{3}y_1^2=\sqrt{3}$，
當(dāng)l斜率存在時(shí)，
${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}|m|\frac{\sqrt{2+6{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+3{k}^{2}}$
將m²=1+3k²帶入整理得${S_{△OAB}}=\sqrt{3}$．
∴△OAB的面積為定值$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中的應(yīng)用，涉及直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系問(wèn)題，長(zhǎng)采用聯(lián)立直線(xiàn)方程和圓錐曲線(xiàn)方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求解，特點(diǎn)是入手易但計(jì)算量大，要求考生具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，是壓軸題．