Question

10．已知M={（x，y）|y=x²-2mx+m+6，m∈R}，N={（x，y）|y=-2x+1．x＜0}，
（1）若M∩N中有兩個元素，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若M∩N中只有一個元素，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）若M∩N=∅，求實數(shù)m的取值范圍（只要寫答案）．

Answer 1

分析 （1）已知條件轉(zhuǎn)化為x²+（2-2m）x+m+5=0有兩個負(fù)根，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出實數(shù)m的取值范圍．
（2）已知條件轉(zhuǎn)化為x²+（2-2m）x+m+5=0只有一個負(fù)根，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出實數(shù)m的取值范圍．
（3）已知條件轉(zhuǎn)化為x²+（2-2m）x+m+5=0無負(fù)數(shù)根，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵M(jìn)={（x，y）|y=x²-2mx+m+6，m∈R}，N={（x，y）|y=-2x+1，x＜0}，
M∩N中有兩個元素，
∴x²-2mx+m+6=-2x+1，即x²+（2-2m）x+m+5=0有兩個負(fù)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（2-2m）^{2}-4（m+5）＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=2m-2＜0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=m+5＞0}\end{array}\right.$，解得-5＜m＜-1，
∴實數(shù)m的取值范圍是（-5，-1）．
（2）∵M(jìn)={（x，y）|y=x²-2mx+m+6，m∈R}，N={（x，y）|y=-2x+1，x＜0}，
M∩N中只有一個元素，
∴x²-2mx+m+6=-2x+1，即x²+（2-2m）x+m+5=0有一個負(fù)根，
從以下兩方面來考慮：
①由△=（2-2m）²-4（m+5）=0，解得m=4或m=-1，
當(dāng)m=4時，x²+（2-2m）x+m+5=0轉(zhuǎn)化為（x-3）²=0，解得x=3不成立；
當(dāng)m=-1時，x²+（2-2m）x+m+5=0轉(zhuǎn)化為（x+2）²=0，解得x=-2，成立．
∴m=-1．
②令g（x）=x²+（2-2m）x+m+5，
∵M(jìn)∩N中只有一個元素，
∴g（0）=m+5＜0，解得m＜-5．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是{-1}∪（-∞，-5）．
（3）∵M(jìn)={（x，y）|y=x²-2mx+m+6，m∈R}，N={（x，y）|y=-2x+1，x＜0}，
M∩N=∅，
∴x²-2mx+m+6=-2x+1，即x²+（2-2m）x+m+5=0無負(fù)數(shù)根，
從以下兩方面來考慮：
①△=（2-2m）²-4（m+5）＜0，$\left\{\begin{array}{l}{△=（2-2m）^{2}-4（m+5）≥0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=2m-2≥0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=m+5≥0}\end{array}\right.$，
解得m＞-1．
②令g（x）=x²+（2-2m）x+m+5，
∵M(jìn)∩N=∅，
∴$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ 2m-2≥0\\ m+5≥0\end{array}\right.$
解得m∈∅．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是（-1，+∞）．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運用．