Question

15．試推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$．

Answer 1

分析 運用橢圓的定義：到兩定點F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c）（c＞0）距離之和為定值2a（a＞c）的點P的軌跡為橢圓．設P（x，y），由兩點間的距離公式，運用移項和兩邊平方，化簡整理，再令a²-c²=b²，即可得到所求橢圓方程．

解答 解：到兩定點F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c）（c＞0）距離之和
為定值2a（a＞c）的點P的軌跡為橢圓．
設P（x，y），則$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{{（y-c）}^2}}$
∴$2a-\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}=\sqrt{{x^2}+{{（y-c）}^2}}$，
∴${（2a-\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}）^2}={\sqrt{{x^2}+{{（y-c）}^2}}^2}$，
∴$4{a^2}+{x^2}+{（y+c）^2}-4a\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}={x^2}+{（y-c）^2}$
∴$4{a^2}+{x^2}+{（y+c）^2}-4a\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}={x^2}+{（y-c）^2}$，
∴$a+\frac{c}{a}y=\sqrt{{x^2}+{{（y+c）}^2}}$（由定義可得y∈[-a，a]，所以$a+\frac{c}{a}y＞0）$，
∴${a^2}+2cy+\frac{c^2}{a^2}{y^2}={x^2}+{（y+c）^2}$
∴${x^2}+\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}{y^2}={a^2}-{c^2}$，即$\frac{x^2}{{{a^2}-{c^2}}}+\frac{y^2}{a^2}=1$，
又a＞c，不妨令a²-c²=b²，
∴焦點在y軸上的橢圓的標準方程：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．

點評 本題考查橢圓的方程的推導，注意運用定義法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．