Question

7．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（-4）=-1，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0，若正數(shù)a，b滿足f（a+2b）≤1，則當(dāng)a+2b取得最大值時(shí)，$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由已知分析函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（-4）=-1，可得：f（4）=1，進(jìn)而a+2b≤4，再由基本不等式可得答案．

解答 解：∵f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0，
故f（x）在R上單調(diào)遞增，
又由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（-4）=-1，
∴f（4）=1，
若正數(shù)a，b滿足f（a+2b）≤1，
則a+2b≤4，
故$\frac{1}{a}+\frac{2}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）×$\frac{1}{4}$（a+2b）=（$\frac{2a}$+$\frac{a}{2b}$）+$\frac{5}{4}$≥2$\sqrt{\frac{2a}•\frac{a}{2b}}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{9}{4}$，
故答案為：$\frac{9}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，基本不等式，導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．