Question

10．已知定義域為R的函數$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數，則a+b=3．

Answer 1

分析 根據函數是定義域為R的奇函數，故f（0）=0且f（-1）=-f（1），求出a，b值后，檢驗是否滿足題意，可得答案．

解答 解：∵定義域為R的函數$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數，
∴f（0）=$f（x）=\frac{b-1}{2+a}$=0，
解得：b=1，
且f（-1）=-f（1），
即$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+a}$=-$\frac{1-{2}^{\;}}{{2}^{2}+a}$，
解得：a=2，
經檢驗，當a=2，b=1時，$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}$滿足f（-x）=-f（x）恒成立，為奇函數，
故a+b=3，
故答案為：3

點評 本題考查的知識點是函數奇偶性的性質，方程思想，轉化思想，難度中檔．