Question

6．已知偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，f（-1）=0，若f（log₂x）＜0，則x的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，2）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）∪（2，+∞）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式f（log₂x）＜0進(jìn)行轉(zhuǎn)化-1＜log₂x＜1，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解可得x的范圍，即可得答案．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵f（x）為偶函數(shù)，則f（1）=f（-1）=0，
∴不等式f（log₂x）＞0等價(jià)為-1＜log₂x＜1，
解可得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，
即不等式的解集為（$\frac{1}{2}$，2），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用，涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性的定義將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．