Question

17．已知f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$（m為常數(shù)）為偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；
（3）求不等式f（log_ax）＞$\frac{5}{2}$（a＞0且a≠1）的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系進行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明．
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解對數(shù)不等式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$（m為常數(shù)）為偶函數(shù)．
∴f（-1）=f（1），即$\frac{1}{2}$+2m=2+$\frac{m}{2}$，
即$\frac{3}{2}$m=$\frac{3}{2}$，即m=1，
此時f（x）=2^x+2^-x．為偶函數(shù)．
（2）證明：設(shè)x₁，x₂是[0，+∞）任意的兩個數(shù)且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+{2^{-{x_1}}}-{2^{x_2}}-{2^{-{x_2}}}$
=${2^{x_1}}-{2^{x_2}}+\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}$
=$（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）（{1-\frac{1}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}}）$，
∵0≤x₁＜x₂，y=2^x是增函數(shù)，
∴${2^{x_2}}＞{2^{x_1}}＞1$；
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，1-\frac{1}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（3）∵f（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴不等式f（log_ax）＞$\frac{5}{2}$等價為f（log_ax）＞f（2），
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴不等式等價為f（|log_ax|）＞f（2），
即|log_ax|＞2，
即log_ax＞2或log_ax＜-2，
若a＞1，得x＞a²或0＜x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，
若0＜a＜1，得0＜x＜a²或x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$，
即不等式的解集為當a＞1，{x|x＞a²或0＜x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$}
當0＜a＜1，得{x|0＜x＜a²或x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$}．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用和證明，利用函數(shù)奇偶性的定義和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．