Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，直線l：x-my-1=0（m∈R）過橢圓C的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知點D（

5

2

，0），連結(jié)BD，過點A作垂直于y軸的直線l₁，設(shè)直線l₁與直線BD交于點P，試探索當m變化時，是否存在一條定直線l₂，使得點P恒在直線l₂上？若存在，請求出直線l₂的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題設(shè)，得

c=1 c a = 1 2

，及b²=a²-c²=3，即可得出．
（2）令m=0，則A(1，  

3

2

)，B(1，  -

3

2

)或者A(1，  -

3

2

)，B(1，  

3

2

)．可得P(4，  

3

2

)或P(4，  -

3

2

)，可知：滿足題意的定直線l₂只能是x=4．
只要證明點P恒在直線x=4上．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于PA垂直于y軸，可得點P的縱坐標為y₁，從而只要證明P（4，y₁）在直線BD上． 利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式只要證明 k_DB=k_DP．

解答： 解：（1）由題設(shè)，得

c=1 c a = 1 2

，解得

c=1 a=2

從而b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1． 
（2）令m=0，則A(1，  

3

2

)，B(1，  -

3

2

)或者A(1，  -

3

2

)，B(1，  

3

2

)．
當A(1，  

3

2

)，B(1，  -

3

2

)時，P(4，  

3

2

)；當A(1，  -

3

2

)，B(1，  

3

2

)時，P(4，  -

3

2

)，
∴滿足題意的定直線l₂只能是x=4．
下面證明點P恒在直線x=4上．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于PA垂直于y軸，∴點P的縱坐標為y₁，從而只要證明P（4，y₁）在直線BD上． 
由

x-my-1=0 ，    x2 4 + y2 3 =1 ，

得（4+3m²）y²+6my-9=0，
∵△=144（1+m²）＞0，
∴y1+y2=

-6m

4+3m2

，y1y2=

-9

4+3m2

．①
∵kDB-kDP=

y2-0

x2- 5 2

-

y1-0

4- 5 2

=

y2

my2+1- 5 2

-

y1

3 2

=

3 2 y2-y1(my2- 3 2 )

3 2 (my2- 3 2 )

=

y1+y2- 2 3 my1y2

my2- 3 2

，
①式代入上式，得k_DB-k_DP=0，
∴k_DB=k_DP． 
∴點P（4，y₁）恒在直線BD上，從而直線l₁、直線BD與直線l₂：x=4三線恒過同一點P，
∴存在一條定直線l₂：x=4使得點P恒在直線l₂上．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．