Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

3

）+cos（2x-

π

6

），（x∈R）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（

α

2

-

π

6

）=

6

5

，α∈（

π

2

，π），求tan（α-

π

4

）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正切函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先對函數(shù)的關(guān)系式進行恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用上步求出的函數(shù)解析式，首先通過函數(shù)關(guān)系式恒等變形，進一步求出函數(shù)的值．

解答： 解：（I）f（x）=sin（2x+

π

3

）+cos（2x-

π

6

）
=sin

π

3

cos2x+cos

π

3

sin2x+cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

=

3

cos2x+sin2x
=2sin(2x+

π

3

)，
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z）．
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，（k∈Z）．
所以：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）；                    
（II）根據(jù)f（x）=2sin(2x+

π

3

)，
所以：f(

α

2

-

π

6

)=

6

5

，
解得：2sinα=

6

5

，
sinα=

3

5

，
由于α∈(

π

2

，π)，
所以：cosα=-

4

5

．
tanα=-

3

4

，
tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

24

7

，
所以：tan(2α-

π

4

)=

tan2α-tan π 4

1+tan2αtan π 4

=

31

17

．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用整體思想求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用三角函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的值，屬于基礎題型．