Question

16．若?x，y∈（0，+∞），恒有$\frac{x}{2x+y}$$+\frac{y}{x+2y}$≤a≤$\frac{x}{x+2y}$$+\frac{y}{2x+y}$，則常數(shù)a=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可令x=y，推得a=$\frac{2}{3}$，再由作差法，化簡(jiǎn)和配方，結(jié)合恒成立思想即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意可設(shè)x=y，可得$\frac{2}{3}$≤a≤$\frac{2}{3}$，
即有a=$\frac{2}{3}$，
由$\frac{x}{2x+y}$$+\frac{y}{x+2y}$-$\frac{2}{3}$=（$\frac{x}{2x+y}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{y}{x+2y}$-$\frac{1}{3}$）=$\frac{x-y}{3（2x+y）}$+$\frac{y-x}{3（x+2y）}$
=-$\frac{（x-y）^{2}}{3（2x+y）（x+2y）}$≤0，
即有$\frac{x}{2x+y}$$+\frac{y}{x+2y}$≤$\frac{2}{3}$，則a≥$\frac{2}{3}$；
由$\frac{x}{x+2y}$$+\frac{y}{2x+y}$-$\frac{2}{3}$=（$\frac{x}{x+2y}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{y}{y+2x}$-$\frac{1}{3}$）
=$\frac{2（x-y）}{3（x+2y）}$+$\frac{2（y-x）}{3（y+2x）}$=$\frac{2（x-y）^{2}}{3（x+2y）（y+2x）}$≥0，
可得$\frac{x}{x+2y}$$+\frac{y}{2x+y}$≥$\frac{2}{3}$，即有a≤$\frac{2}{3}$．
綜上可得a=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用特值法引路，作差法證明，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．