Question

8．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$與直線x-y=1交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，其O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若$\frac{{\sqrt{2}}}{2}a≤b≤\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，則a取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$
• B． $[{\sqrt{3}，2}]$
• C． $[{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}]$
• D． $[{\sqrt{5}，\sqrt{6}}]$

Answer 1

分析 設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到P，Q的橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合OP⊥OQ，得到$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=2{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1=0$，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得到${b^2}=\frac{a^2}{{2{a^2}-1}}$．再由$\frac{{\sqrt{2}}}{2}a≤b≤\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$可得關(guān)于a的不等式組，則a取值范圍可求．

解答 解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ x-y=1\end{array}\right.$，化為：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
△=4a⁴-4（a²+b²）（a²-a²b²）＞0，化為：a²+b²＞1．
${x_1}+{x_2}=\frac{{2{a^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{{a^2}-{a^2}{b^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}$．
∵OP⊥OQ，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}-1）$（x₂-1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴$2×\frac{{{a^2}-{a^2}{b^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}-\frac{{2{a^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}+1=0$．化為a²+b²=2a²b²．
∴${b^2}=\frac{a^2}{{2{a^2}-1}}$．
∵$\frac{{\sqrt{2}}}{2}a≤b≤\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，得$\frac{1}{2}{a^2}≤{b^2}≤\frac{2}{3}{a^2}$，
∴$\frac{1}{2}{a^2}≤\frac{a^2}{{2{a^2}-1}}≤\frac{2}{3}{a^2}$，
化為5≤4a²≤6，解得：$\frac{{\sqrt{5}}}{2}≤a≤\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．滿足△＞0．
∴a取值范圍是$[{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}]$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了向量垂直與數(shù)量積關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．