Question

19．設(shè)y=（a+b）¹⁰．
（1）若$a=\root{3}{x}$，$b=-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}$，求y=（a+b）¹⁰的展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)；
（2）若a=1，b=i （i為虛單位），求${（\frac{y}{32}）^{2011}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得y=（a+b）¹⁰的展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．
（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算法則求得y的值，可得${（\frac{y}{32}）^{2011}}$的值．

解答 解：（1）由 $a=\root{3}{x}$，$b=-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}$，可得y=（a+b）¹⁰ =${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^{10}}$展開式中的${T_{k+1}}=C_{10}^k{（\root{3}{x}）^{10-k}}{（-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^k}$=$C_{10}^k{（-\frac{1}{2}）^k}{x^{\frac{10-2k}{3}}}$．
設(shè)${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^{10}}$展開式中的T_k+1含x²，則$\frac{10-2k}{3}=2$，解得k=2．
∴展開式中的含x²項(xiàng)的系數(shù)為$C_{10}^2{（-\frac{1}{2}）^2}=\frac{45}{4}$．
（2）y=（a+b）¹⁰=（1+i）¹⁰=[（1+i）²]⁵=（2i）⁵=32i，
∴${（\frac{y}{32}）^{2011}}={（\frac{32i}{32}）^{2011}}={i^{2011}}={i^{4×504+3}}={i^3}=-i$．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．