Question

17．已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為B、A，線段AB的中心為D，且k_OD•k_AB=-$\frac{1}{2}$，△AOB的面積為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，以線段OM、ON為鄰邊作平行四邊形OMPN，點(diǎn)P在橢圓上，求點(diǎn)O到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用k_OD•k_AB=-$\frac{1}{2}$，△AOB的面積為2$\sqrt{2}$，建立方程，解得即可得出．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，求出P的坐標(biāo)，代入橢圓方程．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)O到直線l的距離．當(dāng)直線l無(wú)斜率時(shí)時(shí)，由對(duì)稱性可知：點(diǎn)O到直線l的距離為$\sqrt{2}$．即可得出．

解答 解：（1）∵k_OD•k_AB=-$\frac{1}{2}$，△AOB的面積為2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\frac{2}}{\frac{a}{2}}•\frac{-a}$=-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$ab=2$\sqrt{2}$，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=2，
∴橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，
代入橢圓方程，化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）＞0，化為4+8k²-m²＞0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
∴x₀=x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+2{k}^{2}}$．
∵點(diǎn)P在橢圓M上，∴代入化為m²=1+2k²，滿足△＞0．
又點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$≥1．當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)．
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知：點(diǎn)P一定在x軸上，從而點(diǎn)P的坐標(biāo)為（±2$\sqrt{2}$，0），直線l的方程為x=±$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)O到直線l的距離為$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)O到直線l的距離的最小值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量的平行四邊形法則、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．