Question

8．如圖，E為矩形ABCD所在平面外一點，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE，
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）G為矩形ABCD對角線的交點，求三棱錐C-BGF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明AE⊥BC，再證AE⊥BF，由線面垂直的判定定理證明結(jié)論．
（Ⅱ）運用等體積法，先證FG⊥平面BCF，把原來的三棱錐的底換成面BCF，則高就是FG，代入體積公式求三棱錐的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE．
（Ⅱ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，
∵G是AC中點，∴F是CE中點，且FG=$\frac{1}{2}$AE=1，
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．
∴Rt△BCE中，BF=CF=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{2}$．
∴S_△CFB=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=1
∴V_C-BFG=V_G-BCF=$\frac{1}{3}$S_△CFB•FG=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明方法，利用等體積法求三棱錐的體積，屬于中檔題．