Question

13．推理與證明是數(shù)學(xué)的一般思考方式，也是學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)的基本功．請選擇你認(rèn)為合適的證明方法，完成下面的問題．
已知a，b，c∈R，a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0．求證：a，b，c，全為正數(shù)．

Answer 1

分析 本題是一個(gè)全部性問題，要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰．于是考慮采用反證法．假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)，這時(shí)需要逐個(gè)討論a，b，c不是正數(shù)的情形．但注意到條件的特點(diǎn)（任意交換a，b，c的位置不改變命題的條件），我們只要討論其中一個(gè)數(shù)（例如a），其他兩個(gè)數(shù)（例如b，c）與這種情形類似．

解答 證明：假設(shè)a，b，c是不全為正的實(shí)數(shù)，由于abc＞0，
則它們只能是兩負(fù)一正，不妨設(shè)a＜0，b＜0，c＞0．…（3分）
又∵ab+bc+ca＞0，∴a（b+c）+bc＞0，且bc＜0，
∴a（b+c）＞0．①…（7分）
又∵a＜0，∴b+c＜0．∴a+b+c＜0…（10分）
這與a+b+c＞0相矛盾．
故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a，b，c均為正實(shí)數(shù)．…（12分）

點(diǎn)評 當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來證．反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是①與已知條件矛盾，②與假設(shè)矛盾，③與定義、公理、定理矛盾，④與事實(shí)矛盾等方面．反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器．推理與證明是數(shù)學(xué)的一般思考方式，也是學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)的基本功．