Question

20．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=1，BC=2，AC⊥BC，D，E，F(xiàn)分別為棱AA₁，A₁B₁，AC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）若異面直線AA₁與EF所成角為30°時，求三棱錐C₁-DCB的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證EF∥平面BCC₁B₁，可證EF所在平面平行于平面BCC₁B₁，取AB的中點O，連接FO，EO，由棱柱的性質(zhì)可得FO∥BC，EO∥BB₁，再由面面平行的判定得到平面EFO∥平面BCC₁B₁，則答案得到證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠FEO異面直線AA₁與EF所成角，得到∠FEO=30°，進(jìn)一步得到BC⊥平面ACC₁A₁，再由已知求出EO的長度，把三棱錐C₁-DCB的體積轉(zhuǎn)化為B-CDC₁的體積求解．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
取AB的中點O，連接FO，EO，
∵E，F(xiàn)分別為棱A₁B₁，AC的中點，
∴FO∥BC，EO∥BB₁，F(xiàn)O∩EO=O，BC∩BB₁=B，F(xiàn)O，EO?平面EFO，BC，BB₁?平面BCC₁B₁，
∴平面EFO∥平面BCC₁B₁，
又EF?平面EFO，
∴EF∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠FEO異面直線AA₁與EF所成角，∴∠FEO=30°，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BB₁⊥平面ABC，
∴EO⊥平面ABC，則EO⊥FO，
∵$FO=\frac{1}{2}BC=1$，∴$EF=2，EO=\sqrt{E{F^2}-F{O^2}}=\sqrt{3}$，
由∵AC⊥BC，CC₁⊥BC，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∴${V_{{C_1}-BCD}}={V_{B-CD{C_1}}}=\frac{1}{3}BC•{S_{△CD{C_1}}}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．