Question

15．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若對(duì)任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a＞4時(shí)，求函數(shù)y=f（f（x）+a）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）=0即可求出a；
（2）討論a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三種情況，求出每種情況下的f（x）的最小值，讓最小值大于等于0從而求出a的取值范圍；
（3）代入f（x），原函數(shù)變成y=f（x|x-a|），這時(shí)候換元t=x|x-a|，y=t|t-a|-a．然后畫出函數(shù)t=x|x-a|和函數(shù)y=t|t-a|-a的圖象，通過圖象找出有幾個(gè)t使得y=t|t-a|-a=0，并找出對(duì)應(yīng)的x的個(gè)數(shù)，從而找到原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）∵f（x）在原點(diǎn)有定義，f（x）為奇函數(shù)；
∴f（0）=-a=0；
∴a=0；
（2）f（x）=x|x-a|-a；
∴①若a＜2，則x=2時(shí)，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2-a）-a=4-3a；
∴4-3a≥0，a≤$\frac{4}{3}$；
∴$a≤\frac{4}{3}$；
②若2≤a≤3，則x=a時(shí)，f（x）取得最小值f（a）=-a；
-a＜0，不滿足f（x）≥0；
即這種情況不存在；
③若a＞3，則x=3時(shí)，f（x）取得最小值f（3）=3（a-3）-a=2a-9；
∴2a-9≥0，a$≥\frac{9}{2}$；
∴$a≥\frac{9}{2}$；
∴綜上得a的取值范圍為（-∞，$\frac{4}{3}$]∪[$\frac{9}{2}$，+∞）；
（3）f（x）+a=x|x-a|，令x|x-a|=t；
∴y=t|t-a|-a；
下面作出函數(shù)t=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax}&{x≥a}\\{-{x}^{2}+ax}&{x＜a}\end{array}\right.$和函數(shù)y=t|t-a|-a=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-at-a}&{x≥a}\\{-{t}^{2}+at-a}&{x＜a}\end{array}\right.$的圖象：

函數(shù)y=t|t-a|-a的圖象可以認(rèn)為由函數(shù)y=t|t-a|的圖象向下平移a個(gè)單位得到；
顯然函數(shù)y=t|t-a|-a的左邊兩個(gè)零點(diǎn)t=t₁，t=t₂都在（0，a）區(qū)間上，而通過t=x|x-a|的圖象可看出：
∵$a＞4，\frac{{a}^{2}}{4}-a=a（\frac{a}{4}-1）＞0$，∴$a＜\frac{{a}^{2}}{4}$；
∴t₁，t₂分別有三個(gè)x和它對(duì)應(yīng)；
∴這時(shí)原函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)；
由t（t-a）-a=t²-ta-a=0可以解出${t}_{3}=\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$；
∴$\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}=\frac{（{a}^{2}-2a）^{2}-4（{a}^{2}+4a）}{4（{a}^{2}-2a+2\sqrt{{a}^{2}+4a}）}$；
顯然$4（{a}^{2}-2a+2\sqrt{{a}^{2}+4a}）＞0$；
而（a²-2a）²-4（a²+4a）=a[a²（a-4）-16]；
顯然a²（a-4）-16可能大于0，可能等于0，可能小于0；
∴t₃可能和它對(duì)應(yīng)的x個(gè)數(shù)為3，2，1；
∴此時(shí)原函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，2，或1；
∴原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9個(gè)，8個(gè)，或7個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)f（0）=0，函數(shù)零點(diǎn)的定義，含絕對(duì)值函數(shù)求最值的方法：觀察解析式的方法，以及畫出分段函數(shù)的圖象，以及根據(jù)圖象求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法．