Question

13．在直角坐標系中，以原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．已知曲線C₁：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）與經(jīng)過點P（-2，4）的直線C₂$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）交于M，N兩點．
（1）求曲線C₁，C₂的普通方程．
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）化為ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，代入即可得出；直線C₂$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），相減即可得出．
（2）把直線C₂$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）代入y²=2ax，可得：t²+$（8\sqrt{2}-2\sqrt{2}a）$t+8a+32=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：$（{t}_{1}-{t}_{2}）^{2}$=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}$=8a²-96a．由于|PM|，
|MN|，|PN|成等比數(shù)列，可得|MN|²=|PM||PN|，把根與系數(shù)代入即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）化為ρ²sin²θ=2aρcosθ（a＞0），
∴y²=2ax；
直線C₂$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），相減化為x-y+6=0．
（2）把直線C₂$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）代入y²=2ax，可得：t²+$（8\sqrt{2}-2\sqrt{2}a）$t+8a+32=0，
∴t₁+t₂=$2\sqrt{2}a-8\sqrt{2}$，t₁t₂=8a+32．
∴$（{t}_{1}-{t}_{2}）^{2}$=$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}$=$（2\sqrt{2}a-8\sqrt{2}）^{2}-4（8a+32）$=8a²-96a．
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，∴|MN|²=|PM||PN|，
∴8a²-96a=8a+32，
化為a²-13a-4=0，a＞0，解得a=$\frac{13+\sqrt{185}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．