Question

已知橢圓C的兩個焦點為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），點M是橢圓C上的動點，且MF₁?MF₂的最大值為25．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知有一定點N（2，0），求MN的最小值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì),橢圓的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓的定義可知，MF₁+MF₂=2a，再由基本不等式求出MF₁•MF₂的最大值a²，再由a，b，c的關系，即可得到方程；
（2）令M（5cosα，4sinα），運用兩點間的距離公式，化簡三角函數(shù)，并配方結合余弦函數(shù)的值域，即可切得最小值．

解答： 解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則c=3，MF₁+MF₂=2a，MF₁•MF₂≤（

MF1+MF2

2

）²=a²，
當且僅當MF₁=MF₂，取最大值a²，
則a²=25，b²=a²-c²=16．
則橢圓C的方程

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）令M（5cosα，4sinα），由于N（2，0），
MN=

(5cosα-2)2+16sin2α

=

9cos2α-20cosα+20

=

9(cosα- 10 9 )2+ 80 9

，
由于

10

9

∉[-1，1]，
則cosα=1時，MN取最小值3．

點評：本題考查橢圓的標準方程和定義，以及參數(shù)方程的運用，考查基本不等式的運用和三角函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．