Question

8．正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，D，E，F(xiàn)分別在三邊AB，BC，CA上，D為AB的中點(diǎn)，DE⊥DF，且DF=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$DE，則∠BDE=60°．

Answer 1

分析 設(shè)出∠BDE=θ，分別在△BDE和△ADF中利用正弦定理表示出DF和DE，根據(jù)已知的關(guān)系式求得tanθ的值，進(jìn)而求得答案．

解答 解：設(shè)∠BDE=θ，在△BDE中，由正弦定理知$\frac{ED}{sin60°}$=$\frac{BD}{sin（120°-θ）}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（60°+θ）}$，
同理在△ADF中，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（30°+θ）}$，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{sin（60°+θ）}{sin（30°+θ）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得tanθ=$\sqrt{3}$，
∴θ=60°．
故答案為：60°

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用正三角形的內(nèi)角均為60°建立關(guān)系式．