Question

5．已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+$\frac{2}{x+1}$-1（x≥0，a＞0）．求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=ln（ax+1）+$\frac{2}{x+1}$-1（x≥0，a＞0），
∴f′（x）=$\frac{a}{ax+1}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+{a}^{2}-2}{（ax+1）（x+1）^{2}}$，
當(dāng)a²-2≥0時，即a≥$\sqrt{2}$時，f′（x）≥0恒成立，故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a²-2＜0時，即0＜a＜$\sqrt{2}$時，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{2a-{a}^{3}}}{a}$，
當(dāng)f′（x）＞0時，即x＞$\frac{\sqrt{2a-{a}^{3}}}{a}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，即0≤x≤$\frac{\sqrt{2a-{a}^{3}}}{a}$，函數(shù)單調(diào)減，
綜上所述，當(dāng)a≥$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜a＜$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）在[0，$\frac{\sqrt{2a-{a}^{3}}}{a}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{\sqrt{2a-{a}^{3}}}{a}$，+∞）單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運算能力，屬中檔題．