Question

20．如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BFD；
（Ⅱ）求三棱錐C-BGF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意可知：G是AC中點(diǎn)，CE⊥BF，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，由此能證明AE∥平面BFD．
（Ⅱ） 法一：三棱錐C-BGF的體積V_C-BFG=V_G-BCF，由此能求出果．
法二：三棱錐C-BGF的體積${V_{C-BFG}}=\frac{1}{4}{V_{C-ABE}}=\frac{1}{4}•{V_{A-BCE}}$，由此能求出果．

解答 證明：（Ⅰ）∵矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，
F為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G，
∴依題意可知：G是AC中點(diǎn)．
∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，
而BC=BE．∴F是AC中點(diǎn)．
在△AEC中，F(xiàn)G∥AE，∴AE∥平面BFD．
解：（Ⅱ） 解法一：∵矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，
F為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．
∴三棱錐C-BGF的體積${V_{C-BFG}}={V_{G-BCF}}=\frac{1}{3}•{S_{△CFB}}•FG=\frac{1}{3}$．
解法二：∵矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，
F為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．
∴三棱錐C-BGF的體積${V_{C-BFG}}=\frac{1}{4}{V_{C-ABE}}=\frac{1}{4}•{V_{A-BCE}}=\frac{1}{4}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•BC•BE•AE=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．