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5.已知變量x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≤0\\ x≥1\\ x+y-7≤0\end{array}\right.$,則2x+y的取值范圍是(  )
A.(-∞,5]∪[$\frac{19}{2}$,+∞)B.[5,8]C.[5,$\frac{19}{2}$]D.[8,$\frac{19}{2}$]

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域,設z=2x+y,利用z的幾何意義即可得到結論.

解答 解:作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:(陰影部分).
由z=2x+y得y=-2x+z,
平移直線y=-2x+z,
由圖象可知當直線y=-2x+z經過點B時,直線y=-2x+z的截距最大,此時z最大.
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$,即B($\frac{5}{2}$,$\frac{9}{2}$),
代入目標函數z=2x+y得z=2×$\frac{5}{2}$+$\frac{9}{2}$=$\frac{19}{2}$.
即目標函數z=2x+y的最大值為$\frac{19}{2}$.
當直線y=-2x+z經過點A時,直線y=-2x+z的截距最小,
此時z最。
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$,即A(1,3),
代入目標函數z=2x+y得z=2×1+3=5.
即目標函數z=2x+y的最小值為5.
目標函數z=2x+y的取值范圍是[5,$\frac{19}{2}$],
故選:C.

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用目標函數的幾何意義,結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法.

練習冊系列答案
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