Question

5．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≤0\\ x≥1\\ x+y-7≤0\end{array}\right.$，則2x+y的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，5]∪[$\frac{19}{2}$，+∞）
• B． [5，8]
• C． [5，$\frac{19}{2}$]
• D． [8，$\frac{19}{2}$]

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，設z=2x+y，利用z的幾何意義即可得到結論．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當直線y=-2x+z經過點B時，直線y=-2x+z的截距最大，此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$），
代入目標函數z=2x+y得z=2×$\frac{5}{2}$+$\frac{9}{2}$=$\frac{19}{2}$．
即目標函數z=2x+y的最大值為$\frac{19}{2}$．
當直線y=-2x+z經過點A時，直線y=-2x+z的截距最小，
此時z最�。�
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（1，3），
代入目標函數z=2x+y得z=2×1+3=5．
即目標函數z=2x+y的最小值為5．
目標函數z=2x+y的取值范圍是[5，$\frac{19}{2}$]，
故選：C．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．