Question

17．已知x²+y²=9的內(nèi)接三角形ABC中，A點的坐標是（-3，0），重心G的坐標是$（-\frac{1}{2}，-1）$，求：
（Ⅰ）直線BC的方程；
（Ⅱ）弦BC的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要求三角形頂點的坐標，可先將它們的坐標設出來，根據(jù)重心的性質(zhì)，我們不難求出BC邊上中點D的坐標，及BC所在直線的斜率，代入直線的點斜式方程即可求出答案．
（Ⅱ）求出圓心到BC所在直線的距離，即可求出弦BC的長度．

解答 解：（I）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則由已知得${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}$；y₁+y₂=-3
所以BC中點坐標為$（\frac{3}{4}，-\frac{3}{2}）$，故${k_{BC}}=\frac{1}{2}$
所以BC所在直線方程為：$y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}（x-\frac{3}{4}）$，即4x-8y-15=0-----（5分）
（II）由（I）得圓心到BC所在直線的距離為 $d=\frac{|-15|}{{\sqrt{16+64}}}=\frac{15}{{\sqrt{80}}}$
所以弦BC的長度為$2\sqrt{9-\frac{225}{80}}=2\sqrt{\frac{99}{16}}=\frac{3}{2}\sqrt{11}$．-----（10分）

點評 本題考查三角形重心的性質(zhì)，中點坐標公式，直線的點斜式方程．屬于中檔題．