Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（$\sqrt{{a}_{n}}$，S_n）在曲線y=2x²-2上．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{lo{g}_{4}{a}_{n}•lo{g}_{4}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=2a_n-2與S_n-1=2a_n-1-2（n≥2）作差，進而可得數(shù)列{a_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列；
（2）通過（1）裂項可知b_n=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進而并項相加即得結(jié)論．

解答 （1）證明：依題意，S_n=2a_n-2，
∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
又∵a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項、公比均為2的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知a_n=2ⁿ，
∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{4}{a}_{n}•lo{g}_{4}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{n}{2}•\frac{n+1}{2}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=4（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{4n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．