Question

13．關(guān)于x的方程x+log₂x=[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）的解有（　　）個(gè)．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由[x]≤x，可得0＜x≤1，討論x=1和0＜x＜1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理，即可得到所求解的個(gè)數(shù)．

解答 解：由[x]≤x，即有x+log₂x=[x]≤x，
即log₂x≤0，可得0＜x≤1，
當(dāng)x=1時(shí)，有1+log₂1=1成立；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，[x]=0，即有x+log₂x=0，
令f（x）=x+log₂x，f（x）在（0，1）遞增，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-1＜0，f（1）=1＞0，
則f（x）在（0，1）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程僅有一解．
綜上可得原方程的解有兩個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的解的個(gè)數(shù)，考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．