Question

10．已知y=x²+2ax+1
（1）若當x∈[-1，2]時，y的最大值為4，求a．
（2）若當a∈[-1，2]時，y的最大值為4，求x．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)結合函數(shù)的最值性進行求解．
（2）利用參數(shù)轉(zhuǎn)化法構造函數(shù)g（a），利用一次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）設y=f（x），則f（x）=（x+a）²+1-a²
當|-a-（-1）|≥|-a-2|即$a≤-\frac{1}{2}$時，f（x）_max=f（-1）=2-2a=4，
解得：a=-1
當|-a-（-1）|＜|-a-2|即$a＞-\frac{1}{2}$時，f（x）_max=f（2）=5+4a=4，
解得：$a=-\frac{1}{4}$∴$a=-1或a=-\frac{1}{4}$…6
（2）設y=g（a），則g（a）=2xa+（x²+1）
當2x=0即x=0時，g（a）=1不符合題設，舍去
當2x＞0即x＞0時，$g{（a）_{max}}=g（2）={x^2}+4x+1=4$
解得：$x=-2+\sqrt{7}$或$x=-2-\sqrt{7}$（舍）
當2x＜0即x＜0時，$g{（a）_{max}}=g（-1）={x^2}-2x+1=4$
解得：x=3（舍）或x=-1，
∴$x=-2+\sqrt{7}或x=-1$…12

點評 本題主要考查一元二次函數(shù)的性質(zhì)，對于含有參數(shù)的數(shù)學問題，一般使用參數(shù)轉(zhuǎn)化法進行求解．