Question

19．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上的拋物線過(guò)點(diǎn)A（9，6）．
（1）求拋物線方程；
（2）M是該拋物線異于A的一點(diǎn)，且M在第一象限，滿(mǎn)足FA⊥FM，延長(zhǎng)AM交x軸于點(diǎn)B，求△MFB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），代入A，求出p，即可求拋物線方程；
（2）求出M的坐標(biāo)，可得直線AM的方程，求出B的坐標(biāo)，即可求△MFB的面積．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
∵點(diǎn)A（9，6），代入可得36=18p，∴p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x；
（2）F（1，0），∴k_AF=$\frac{6-0}{9-1}$=$\frac{3}{4}$，
∴k_MF=-$\frac{4}{3}$，
∴直線MF的方程為y=-$\frac{4}{3}$（x-1），
與y²=4x聯(lián)立可得y²+3y-4=0
∵M(jìn)在第一象限，∴y=1，
∴M（$\frac{1}{4}$，1），
∴直線AM的方程為y-6=$\frac{5}{9-\frac{1}{4}}$（x-9），即4x-7y+6=0，
令y=0，可得x=-$\frac{3}{2}$，
∴△MFB的面積S=$\frac{1}{2}×（1+\frac{3}{2}）×1$=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．