Question

2．已知函數(shù)$y=2sin（\frac{π}{3}-\frac{1}{2}x）$
（1）求函數(shù)的最大值與最小值，并寫出取最大值與最小值時自變量x的集合．
（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間
（3）求函數(shù)在$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的最值求得函數(shù)的最大值與最小值，并寫出取最大值與最小值時自變量x的集合．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（3）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)在$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$的值域．

解答 解：（1）對于函數(shù)$y=2sin（\frac{π}{3}-\frac{1}{2}x）$=-2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），它的最大值為2，此時，$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，
即x=4kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，自變量x的集合為{x|x=4kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z}．
它的最小值為-2，此時，$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=4kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z，自變量x的集合為{x|x=4kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z}．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{11π}{3}$，
故函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ+$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{11π}{3}$]，k∈Z．
（3）∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}]$，∴$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{12}$，-$\frac{π}{4}$]，故函數(shù)y=-2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減，
∴故當x=-$\frac{π}{6}$時，y=-2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）取得最大值為2sin $\frac{5π}{12}$=2sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=2sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{4}$+2cos$\frac{π}{6}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{4}$，
當x=$\frac{π}{6}$時，y=-2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）取得最小值為2sin（-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$，故函數(shù)的值域為[-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{2}}{4}$]．

點評 本題主要考查誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的最值、正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．