Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，試問在軸上是否存在定點(diǎn)使得直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由題得a,b,c的方程組求解即可（2）直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱，等價(jià)于的斜率互為相反數(shù)，即，整理.設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，將韋達(dá)定理代入整理即可.

(1)由題意可得，，又，

解得，.

所以，橢圓的方程為

(2)存在定點(diǎn)，滿足直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱.

設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，整理得，.

設(shè)，，定點(diǎn).(依題意

則由韋達(dá)定理可得，，.

直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱，等價(jià)于的斜率互為相反數(shù).

所以，，即得.

又，，

所以，，整理得，.

從而可得，，

即，

所以，當(dāng)，即時(shí)，直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱成立. 特別地，當(dāng)直線為軸時(shí)，也符合題意. 綜上所述，存在軸上的定點(diǎn)，滿足直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱.