Question

13．證明下列不等式
（1）已知a＞0，b＞0，判斷a³+b³與a²b+ab²的大小，并證明你的結(jié)論．
（2）已知x∈R，a=x²+$\frac{1}{2}$，b=2-x，c=x²-x+1，證明a，b，c至少有一個不小于1．

Answer 1

分析 （1）證明使a³+b³＞a²b+ab²成立的充分條件成立，即要證a²+b²＞a²b+ab²成立，只需證（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立，只需證a²-ab+b²＞ab成立，而依題設(shè)a≠b，則（a-b）²＞0顯然成立，從而得到證明；
（2）根據(jù)題意，首先假設(shè)命題錯誤，即假設(shè)a，b，c均小于1，進(jìn)而可得a+b+c＜3，再分析a、b、c三項的和，可得矛盾，即可證原命題成立．

解答 證明：（1）要證a²+b²＞a²b+ab²成立，
只需證（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立
又因為a＞0，
只需證a²-ab+b²＞ab成立，
而依題設(shè)a≠b，則（a-b）²＞0顯然成立，
由此命題得證．
（2）證明：假設(shè)a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，則有a+b+c＜3
而a+b+c=2x²-2x+$\frac{1}{2}$+3=2（x-$\frac{1}{2}$）²+3≥3，
兩者矛盾；
故a，b，c至少有一個不小于1

點評 本題考查不等式的證明，體會不同方法間的區(qū)別聯(lián)系．注意用反證法時，需要首先否定原命題，特別是帶至少、最多詞語一類的否定．