Question

4．已知i為虛數(shù)單位，a∈R，若$\frac{1-i}{a+i}$為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z=（2a+1）+$\sqrt{2}$i的模等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{11}$

Answer 1

分析 由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)$\frac{1-i}{a+i}$，又根據(jù)$\frac{1-i}{a+i}$為純虛數(shù)，列出方程組，求解即可得a的值，然后代入復(fù)數(shù)z，再由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案．

解答 解：$\frac{1-i}{a+i}$=$\frac{（1-i）（a-i）}{（a+i）（a-i）}=\frac{（a-1）-（a+1）i}{{a}^{2}+1}$=$\frac{a-1}{{a}^{2}+1}-\frac{a+1}{{a}^{2}+1}i$，
∵$\frac{1-i}{a+i}$為純虛數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-1}{{a}^{2}+1}=0}\\{-\frac{a+1}{{a}^{2}+1}≠0}\end{array}\right.$，
解得：a=1．
復(fù)數(shù)z=（2a+1）+$\sqrt{2}$i=$3+\sqrt{2}i$，
則$|z|=\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{11}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．