Question

20．設(shè)函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是定義在R上的函數(shù)，其中f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（x）對于x∈R恒成立，則（　　）

• A． f（2）＞e²f（0），f（2012）＜e²⁰¹²f（0）
• B． f（2）＜e²f（0），f（2012）＜e²⁰¹²f（0）
• C． f（2）＞e²f（0），f（2012）＞e²⁰¹²f（0）
• D． f（2）＜e²f（0），f（2012）＞e²⁰¹²f（0）

Answer 1

分析 求函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)F′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴F′（x）＜0，
即函數(shù)F（x）是減函數(shù)，
則F（0）＞F（2），F(xiàn)（0）＞F（2012），
即$\frac{f（0）}{{e}^{0}}＞\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$＞$\frac{f（2012）}{{e}^{2012}}$
即f（2）＜e²f（0），f（2012）＜e²⁰¹²f（0），
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．