Question

10．已知雙曲線與橢圓$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$有相同的焦點(diǎn)，若雙曲線的一條漸近線方程是$x+\sqrt{3}y=0$，則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為$x+\sqrt{3}y=0$，設(shè)雙曲線的方程為x²-3y²=λ，即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{\frac{λ}{3}}=1$，可得λ+$\frac{1}{3}$λ=48，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$±4\sqrt{3}$，0），
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$±4\sqrt{3}$，0），
∵雙曲線的一條漸近線方程為$x+\sqrt{3}y=0$，
∴設(shè)雙曲線的方程為x²-3y²=λ，
即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{\frac{λ}{3}}=1$
∴λ+$\frac{1}{3}$λ=48，
∴λ=36，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程，考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．