Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x-4）²+y²=1，若直線y=kx-3上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：圓C的方程表示以C（4，0）為圓心，半徑等于1的圓．由題意可得，直線y=kx-3和圓C′：即（x-4）²+y²=9有公共點(diǎn)，由點(diǎn)C′到直線y=kx-3的距離為d≤3，求得實(shí)數(shù)k的最大值．

解答： 解：圓C的方程為：（x-4）²+y²=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；
又直線y=kx-3上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，
∴只需圓C′：（x-4）²+y²=9與直線y=kx-3有公共點(diǎn)即可．
設(shè)圓心C（4，0）到直線y=kx-3的距離為d，
則d=

|4k-2|

1+k2

≤3，即7k²-24k≤0，
∴0≤k≤

24

7

，
∴k的最大值是

24

7

．
故答案為：

24

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．